Не хотелось бы Вас огорчать, но поведение Вашего нынешнего мужа недопустимо в Вашей ситуации.
Но для начала поставьте себя на место Вашего сына, попробуйте понять , что происходит с ребенком. Сначала у ребенка исчезает папа и появляется редко и он очень добрый к нему, потом рождается сестричка и мама уделяет ей много времени, а про него забывает, а еще он постоянно виноват и наказан (подозреваю , что в первую очередь запрещают смотреть мультики). Он чувствует себя не нужным, брошенным и преданным, отсюда и такая апатия, нежелание ничего делать и ничему учится, он не видит для чего ему это надо. Ребенок в его возрасте только внешне выглядит как ребенок, внутри он уже вполне сформировавшаяся личность, и проблемы у него зачастую уже давно не детские.
Посоветовал бы Вам направить внимание ребенка не на занятия спортом (если в семье никто спортом не занимается, то и примера для подражания нет, плюс спортом начинают заниматься дети в садике, есть занятия, ходят друзья и т.п.), а на помощь маме с занятием с сестренкой, на то, что она маленькая и беззащитная, и она нуждается в поддержке старшего брата. Старайтесь больше хвалить его за выполнение даже самых пустячных дел. Придумайте для него ответственные поручения, как пример, пусть отвечает за ее разбросанные игрушки, ну или он должен всегда подавать ей пустышку, при этом должен ее вымыть сначала. переложите на него часть ответственности. И больше слов о любви и заботе, и о том как Вы на него рассчитываете. Уделите ему внимание, пусть он почаще рассказывает Вам о тех же мультиках, пересказывает вам сюжет, более того пусть пересказывает сюжет сестренке, или рассказывает ей сказки, она хоть и крошка еще, но уже будет его слушать. Расскажите, что она скоро начнет говорить, а для этого ей нужно знать буквы, пусть он их изучает, и помогает ей научится разговаривать.
Во-вторых поговорите с отцом ребенка, сейчас он для него является большим авторитетом, чем чем вы и отчим. Пусть он проследит за реакцией ребенка при их встречах, насколько он активизируется, оживает. Пусть он попробует выяснить что сейчас интересно сыну и начать приучать его к творчеству или конструированию, именно своим примером и совместными занятиями.
И наконец о самом трудном, о перевоспитании отчима, к сожалению его поведение типично для многих мужчин. То что он придерживается такой схемы поведения с детьми заложено у него скорее всего с детства от собственных родителей. При этом такая модель поведения будет переносится и на родную дочь. Резко поменяться он не сможет, а вот откорректировать его поведение Вам под силу. Наказание должно быть только за действительно большой проступок, при этом ребенку нужно спокойно и доходчиво объяснить за что его наказывают, нежелание убрать игрушки или хотение смотреть мультик - это не проступок. В данном случае Вы вызываете у сына желание продолжать сопротивляться, делать все назло, или наоборот апатию. И отношение к отчиму только ухудшается, а мама в такой ситуации, не становится на его сторону, а значит тоже не его друг.
Уйдите от наказания, больше общайтесь, найдите ему посильные и интересные поручения, чаще хвалите, рассказывайте при нем другим какой он молодец, как помогает Вам. И серьезно поговорите с мужем, если вы продолжите тактику кнута и пряника, то проблемы к школе только усугубятся.