Вы сами написали, что ваши дети напуганы. То есть вы понимаете, почему ваши дети себя так ведут.
Страх, как и все прочие эмоции, подчиняется определенным законам развития. Как-то чувства всегда движутся в ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ - к своему завершению. Если вы выдавили из тюбика зубную пасту, то уже не сможете запихнуть ее обратно. А именно это вы и будете пытаться делать, если начнете говорить "Перестань", "Замолчи", "Не бойся" и так далее. Чувство можно нарисовать в виде математической кривой: как только она началось, оно начинает нарастать - резко или плавно - потом достигает своей кульминации - разрешения и потом завершается. Когда чувство разрешилось, мы ощущаем себя спокойными и можем забыть о том, что произошло.
У каждого чувства есть своя точка невозврата, свой порог интенсивности, это сильно индивидуально, но когда достигается эта точка невозврата - это чувство уже нельзя подавить. Как правило, поведение своих детей, которое вы описали, очень похоже на эту точку невозврата. То есть говорить нужно либо ДО этого момента, готовить ребенка к тому, что произойдет, обсудить с ним то, что его беспокоит, вместе с ним найти какой-то способ ощутить себя в безопасности, предупредить о том, что будет происходить, что он может почувствовать, для чего это нужно и так далее. Дети часто боятся неожиданности врачебного вмешательства, больше, чем самого вмешательства. А с учетом того, что большинство врачей часто вообще не считает нужным предупреждать пациентов о том, что сейчас произойдет ... Я помню каким шоком было для меня, когда меня в детстве просто подвезли на каталке к двери с надписью операционное и следующее, что я помню - это маска на лице и ощущение полета. Никто не посчитал нужным мне что-то объяснить и предупредить. И да я потом могла выдавать резкую и дикую реакцию на врачей, даже укусить. Будучи абсолютно адекватным и неагрессивным ребенком.
Если уж так случилось, что точка невозврата достигнута, то вам волшебные мантры уже не помогут. Это иррациональное состояние, никакое обсуждение, размышление, убеждение, расчет здесь невозможны, потому что человеческое существо выпадает из сферы собственно человеческого мозга (где и живут эти функции) в мозг млекопитающего. Власть захватывает амигдала. Единственное, что поможет - это если вы вместе с ребенком пройдете этот путь, поддержите его и поможете этому чувству разрешиться. А для того, чтобы у вас это получилось, вы должны иметь способность полностью на 100% переживать сильные чувства, выдерживать их. Я не смогу научить этому на форуме по интернету. И никто не сможет, потому что этому нельзя научить чисто ментально. Если вы этого не умеете, вы будете испытывать стыд, неловкость, смущение, дискомфорт, и ребенок это обязательно почувствует, он вам не поверит, даже если вы будете говорить идеальными речевыми шаблонами. Тут важно не только ЧТО вы говорите, но КАК вы это говорите, потому что чистой логикой из этого состояния уже не вывести.
И последнее. Никто не в состоянии управлять своими чувствами. Это бред. Но можно и нужно контролировать свое поведение. Например маленький ребенок, который увидел красивую игрушку и тянется за ней. И тут подбегает другой ребенок и хватает эту игрушку. Инстинктивная реакция бывает ударить соперника в гневе. Так может например поступить двухлетка. Это незрелая форма поведения. Ребенок постарше поступает по-другому. Он по-прежнему сердится, но у него уже больше выбор форм поведения. Он может попросить защиты и помощи у взрослого, может подождать, пока тот, кто взял игрушку не наиграется и не потеряет к ней интерес, может предложить обменять интересную ему игрушку на другую и так далее. То есть него появляются более зрелые формы поведения. И лучшее, что может сделать родитель для своего ребенка - это научить его проявлять свои чувства и сознательно управлять своим поведением на том уровне зрелости, который соответствует его возрасту.
Как это сделать - рекомендую 2 книги. Авторы Дон Элиот и Джоан Элиот Воспитание сына. Вторая книга Воспитание дочери.
Важно научить детей различать чувства и поведение. Например, когда ребенок буйствует в гневе можно сказать ему "Ты можешь сердится и имеешь право сказать мне об этом, но больше никогда ты не будешь бить меня кулаком и ..." и дальше должно последовать действие, обозначающее границы родителя, ну например выйти из комнаты и оставить одного. Конкретное действие уже зависит от ситуации и возможностей. Но чтобы послушал, тут важная личная стойкость родителя и его способность выносить сильные чувства. Если про вашу ситуацию - испуга в больнице вы можете сказать, что бояться - это нормально в подобное ситуации, и предложить какую-то другую форму поведения.
Если вы сейчас потратите свое время и энергию, чтобы научить этому своих детей, то вы больше не будете попадать в такие ситуации, когда вам за них стыдно и неловко. Более того, вы сделаете их более адаптивными, им будет легче в социуме. Но это дольше и сил потребует больше.
Если такой путь не подходит - то в принципе каждый раз в подобной ситуации можно воспользоваться каким-нибудь готовым речевым шаблоном из книг типа "Как убедить кого угодно в чем угодно". Для каждой ситуации будет свой шаблон. Быстро, удобно. Или как в анекдоте у Галины - шантаж, запугивание, грозный пап. Тоже быстро.